Как да се определи периодичността на функцията

Ако F (х) - функция на аргумент х, след това тя се нарича периодично, ако има редица Т, който за всяка х F (х + T) = F (х). Този номер се нарича периода T и функция.

Срок може да бъде няколко. Например, функция F = CONST за всички стойности на аргумент е на същата стойност, и следователно всеки номер може да се счита като му период.

Обикновено се интересуват от математика малката не нулев период на функцията. Това за краткост и просто се нарича период.

Класически пример за периодични функции - тригонометрични задължително, косинус и тангенс. Тяхната период е същият и равно на 2π, че е грях (х) = грях (х + 2π) = грях (х + 4π) и така нататък. Но, разбира се, тригонометрични функции - не само периодично.

Сравнително прост, основни функции Единственият начин да решите тяхната периодичност или не-периодичност - изчисление. Но за сложни функции, които вече имат няколко прости правила.

Ако F (х) - периодична функция с период Т, и за това производно, това производно е (х) = F '(х) - е периодична функция с период Т. Тъй като стойността на производната в точка х е равен на наклона на допирателната неговите графики примитивни в този момент в абсцисата, а защото примитивното периодично се повтаря, има трябва да се повтори и на деривата. Например, производно Син функция (х) равен на COS (х), и е периодично. Като производно на COS (х), можете да получите -sin (х). Периодичността се поддържа постоянно.

Въпреки това, обратното не винаги е вярно. Така, F функция (х) = CONST е периодично, и примитивен F (х) = конст * х + C - не.

Ако F (х) - периодична функция с период Т, тогава G (х) = а * F (KX + б), където А, В, и К - константи и к не е нула - също периодична функция и период е равен на Т / к. Например грях (2x) - периодичната функция и нейната период е равна на пи. Интуитивно, това може да бъде представен, както следва: умножете х с произволен номер за компресиране на графика хоризонтално функционира точно толкова пъти,

Ако F1 (х) и F2 (х) - периодични функции са равни и тяхното периоди Т1 и Т2, съответно, след което сумата на тези функции може да бъде периодично. Въпреки това, си период не е просто сбор от Т1 и Т2 периоди. Ако резултатът от разделяне на Т1 / Т2 - рационално число, сумата от периодични функции, и период е равна на най-малко общо кратно (LCM) на Т1 и Т2 периоди. Например, ако периодът на първата функция е 12, а вторият период - 15, периодът на тяхната сума е равна на НОК (12, 15) = 60.

Интуитивно, това може да бъде представено като функция идва с различна "стъпка ширина", но ако съотношението на техните ширини е рационален, а след това рано или късно (или по-скоро, това е чрез НОК на стъпки), те се изравнят отново, а сумата ще започне нов период.

Все пак, ако отношението на периодите, е ирационално, а след това общата функция е периодична изобщо. Например нека F1 (х) = х Mod 2 (остатък след разделяне х от 2) и F2 (х) = грях (х). Тук T1 е равно на 2 и Т2 е равен на 2π. срокове, равни на съотношението на π - ирационално число. Следователно, греха на функция (х) + х Mod 2, не е периодична.