Линейни уравнения, примери, разтвори

След като научил, че такова уравнение. и ние сме в състояние да реши най-простият от тях, в които има неизвестен срок, намаляване на множителя и т.н. логично е да се запознаят с уравненията и други видове. Следващите линейни уравнения са на опашката. фокусиран проучване, което започва в алгебра уроци в 7-ми клас.

Ясно е, че първо трябва да обясни какво линейно уравнение за определяне на линейно уравнение, неговите коефициенти, за да покаже цялостната му външен вид. След това можете да разберете как прилагат линейно уравнение, в зависимост от стойностите на коефициентите и корените се намират. Това ще позволи да отиде в решаване на примери, и по този начин се консолидират изучаването на теория. В тази статия, ние ще го направим: подробно се спирам на всички теоретични и практически въпроси, свързани с линейни уравнения и техните решения.

Просто казвам, че тук ще се спрем само на линейното уравнение с една променлива, и вече в отделна статия ще научите принципите на решаването на линейни уравнения с две променливи.

Навигация в страниците.

Какво е линейно уравнение?

Определяне на линейни уравнения се дава като се позовава на досието му. И в различни книги по математика и алгебра формулировка на определения за линейни уравнения има някои разлики не засягат същността на въпроса.

Например, в линейно уравнение, определена от алгебра на учебник за степен 7 Yu и сътр Makaricheva следва .:

Уравнението на форма А · х = б. където х - променлива, а и б - са числа, то се нарича линейно уравнение с една променлива.

Ние даде някои примери за линейни уравнения съответстващи изрази определение. Например, 5 · х = 10 - линейно уравнение с една променлива х. Тук фактор е 5. Броят и б е 10. Друг пример: -2,3 · у = 0 - това е линейно уравнение, но променливата у. където А = -2,3 и Ь = 0. А линейни уравнения в х = -2 и -X = 3,33 числовата коефициенти не са налични в изрично форма и са 1 и -1, съответно, където първото уравнение В = -2. а във втория - б = 3,33.

Една година по-рано, по математика учебник Vilenkina Н. Ya. Линейни уравнения с едно неизвестно добавяне на уравнения с · х = б филц и уравнения, които могат да доведат до тази форма чрез условия за трансфер от една в друга страна на уравнението с обратен знак, а чрез намаляване на сходни условия. Според тази дефиниция, уравнения на формата 5 · х = 2 · х + 6. и т.н. твърде линейна.

От своя страна, учебник алгебра за 7 класове AG Mordkovich дава това определение:

Линейното уравнение с една променлива х - е уравнение на форма А · х + б = 0. където А и Б - са числа, наречени коефициенти на линейно уравнение.

Например, линейни уравнения от този тип са 2 · х 12 = 0. е коефициент, равен на 2 и б - е равна на -12. и 0,2 · у + 4,6 = 0 с коефициенти а = 0,2, и б = 4,6. Но в същото време има примери на линейни уравнения на формата не е · х + б = 0. и · х = б. например, 3 · х = 12.

Нека да има и в бъдеще има неяснота, линейно уравнение с една променлива х и коефициенти а и б, имаме предвид уравнение на форма В · х + б = 0. Този тип линейно уравнение е най-оправдано, тъй като линейното уравнение - е алгебрично уравнение от първа степен. Всички други горните уравнения и уравненията са еквивалентни чрез превръщане на форма А · х + б = 0. Ще се обадя уравнения да бъдат сведени до линейни уравнения. При този подход, уравнението 2 · х + 6 = 0 - линейно уравнение, 2 · х = -6. 4 + 25 · у = 6 + 24 · у. 4 · (х + 5) = 12 и т.н. - това уравнение редуцира до линейна.

Как да решим линейни уравнения?

Сега е време, за да разберете как да се реши линейно уравнение, а · х + б = 0. С други думи, това е време, за да разберете, ако корените на линейно уравнение, и ако е така, колко и как да ги намерят.

Наличие на линейно уравнение корен зависи от стойностите на коефициентите а и Ь. В този случай линеен уравнение · х + б = 0 има

• единичен корен когато ≠ 0.
• Тя няма корени в = 0 и б ≠ 0.
• има безкрайно много корени, когато а = 0 и В = 0. В този случай, всеки брой е корен на линейно уравнение.

Нека да обясни как са получени тези резултати.

Ние знаем, че за решаване на уравнения може да се движи от източника към уравнение еквивалент на уравнение. тоест, да уравнения с едни и същи корени, или както оригинала, не е нужно корени. За тази цел са следните може да се използва еквивалентно преобразуване:

• Терминът трансфер от една част от уравнението на другата с обратен знак,
• и умножаване или разделяне на двете страни по същия ненулева номер.

Така че, в линейно уравнение с една променлива тип · х + B = 0, можем да отложим терминът б отляво надясно с обратен знак. В това уравнение е на форма А · х = Ь.

И тогава се моли разделянето на двете страни на уравнението от номер. Но има едно нещо: на номер може да бъде нула, като в този случай разделянето е невъзможно. За да се справи с този проблем, на първо място, ние приемаме, че редица различна от нула, и един случай е нула, се разглежда отделно по-късно.

Така че, когато не нулев, тогава можем да двете части на уравнението на · х = -b разделени в а. след това се превръща формата х = (- б) # 58 а. този резултат може да се запише като се използва наклонена черта като.

По този начин, когато ≠ 0 линейно уравнение · х + б = 0 е еквивалентно на уравнението. където можете да видите своя корен.

Лесно е да се покаже, че този корен е уникален, което означава, че линейното уравнение няма други корени. Това ви позволява да направите метода, по противоречие.

Означаваме основата на двете x1. Да приемем, че има един корен на линейно уравнение, който е отбелязан с x2. където Х2 ≠ x1. които по дефиниция равен брой еквивалентни на условията на разлика x1 -X2 на ≠ 0. Тъй x1 и x2 корени линейно уравнение · х + б = 0. тогава трябва цифровата уравнение · x1 + б = 0 и · х2 + б = 0. Ние можем да се извърши изваждане на съответните части от тези уравнения, които ни позволяват да се направи на свойствата на числовите уравнения. Имаме · x1 + b- (а · х2 + б) = 0-0. където · (х1 -X2) + (Ь-б) = 0 и след това · (х1 -X2) = 0. Но това равенство е невъзможно едновременно като ≠ 0 и x1 -X2 ≠ 0. Така че има противоречие, което доказва уникалността на основата на линеен уравнение · х + б = 0 за ≠ 0.

Затова решихме да линейно уравнение · х + б = 0 за ≠ 0. Първият резултат е даден в началото на този параграф, не е оправдана. Все още има две, които отговарят на условие а = 0.

Когато а = 0 линейно уравнение · х + б = 0 става 0 · х + б = 0. От това уравнение и свойства на умножението на броя на нула, то следва, че независимо от броя ние не вземе като х. когато тя е заместена в уравнение 0 · х + б = 0 ще цифров равенство б = 0. Това уравнение има, когато B = 0. и в други случаи, когато б ≠ 0 е фалшиво равенство.

Следователно, когато а = 0 и В = 0 произволен брой корен на линейно уравнение · х + б = 0. тъй като при тези обстоятелства замяната на произволен брой х дава вярна числено равенство 0 = 0. И когато = 0 и б ≠ 0 линейно уравнение с едно · х + б = 0 още няма корени, тъй като при тези обстоятелства смяна х на произволен брой води до фалшиво числено равенство б = 0.

Тези изследвания дават възможност за генериране на последователност от действия, който позволява да се реши всяко линейно уравнение. Така алгоритъм за решаване на линейно уравнение, е както следва:

• Първи запис линейно уравнение намерят стойностите на А и Б коефициенти.
• Ако а = 0 и B = 0. след това уравнение е безкрайно много корени, а именно, произволен брой е корен на линейно уравнение.
• Ако а = 0 и б ≠ 0. първоначалното уравнение все още няма корени.
• Ако не нулев, а след това
  • коефициент б се прехвърля в дясната страна с обратен знак, при което линейното уравнение се трансформира в · х = Ь.
  • след което двете части на уравнението са разделени с ненулева номер. което води до получаване на желания корен източника на линейното уравнение.

Алгоритъм записано изчерпателен отговор на въпроса за това как да се реши линейни уравнения.

В заключение този раздел е да се каже, че подобен алгоритъм се използва за решаване на уравненията на форма А · х = б. Нейната разлика се състои в това, че, когато е изпълнено ≠ 0 веднага се разделят двете страни на уравнението с този номер, когато е б е вече в дясната страна на уравнението, и не е необходимо да се извърши прехвърлянето му.

За разтвори на уравнения на форма А · х = б прилага този алгоритъм:

• Ако а = 0 и B = 0. след уравнението има безкрайно много корени, които са всички числа.
• Ако а = 0 и б ≠ 0. първоначалното уравнение все още няма корени.
• Ако различна от нула, а след това и двете страни на уравнението са разделени по различна от нула номер. където има само един корен на уравнението равна на б /.

Примери за разтвори на линейни уравнения

Ние се обръщаме към практиката. Нека, като използва алгоритъм за решаване на линейни уравнения. Това са типични примери за решения, съответстващи на различни стойности на коефициентите на линейни уравнения.