Raspredelenie Puassona 2
Теория на вероятностите - математическа наука, която изучава моделите в случайни събития. Днес той е пълен науката, което е от голямо практическо значение.
Историята на теорията на вероятностите датира от XVII век, когато първите опити за систематични изследователски задачи бяха предприети във връзка с масовите случайни явления и съответния математически апарат. Оттогава много фондации са разработени и задълбочено да настоящите концепции, бяха открити други важни закони и закономерности. Много учени са работили и работят по проблемите на теорията на вероятностите.
Сред тях, не е възможно да не се обърне внимание на делата на Симеон Поасон Denis ((1781-1840) - френски математик), се оказа по-общо от това на Якова Bernulli, под формата на закона за големите числа, както и първият, който се прилага теорията на вероятностите за проблемите на пожар. име на Поасон е свързан с един от законите за разпространение, който играе важна роля в теорията на вероятностите и нейните приложения.
Този закон също може да бъде описан като ограничаване случай на биномно разпределение, когато вероятността р на събитието ние сме заинтересовани в един експеримент е много малък, но броят на експерименти м, произведени за единица време е достатъчно голям, и то е това, че в процеса на р
тр работа клони към положителна постоянна стойност
).
Затова законът Поасон е често по-нататък правото на редки събития.
Raspredelenie Puassona в теорията на вероятностите
Функция и редица разпределение
Raspredelenie Puassona - е специален случай на биномно разпределение (с п >> 0 и р -> 0 (рядко явление)).
От математиката е известно формула за изчисляване на прогнозната стойност на всеки член на биномно разпределение:
където п = · р - параметър Поасон (очакване) и дисперсията е равна на очакването. Математическите изчисления, обясняващи това преминаване. биномно разпределение
може да се запише, ако ние се р = а / п. под формата на
От стр е много малък, че е необходимо да се вземат предвид само броя на м. малък в сравнение с п. продукт
много близо до единство. Същото важи и за стойността на
в непосредствена близост до д -а на. Следователно, ние получаваме формулата:
брой на Ойлер (2.71 ...).
,
Генериране на функция
Разпределението на кумулативна вероятност е
А разпределение номер на случайна променлива X е разпределена според закона на Поасон, както следва:
,
.
Пример условия, при които има Raspredelenie Puassona
Както вече споменахме, много практически проблеми водят до разпределение на Поасон. Помислете за един от този вид на типични задачи.
Нека х ос Ox произволно разпределени точка (фиг. 3). Да приемем, че случайно разпределение на точките да отговарят на следните условия:
1) вероятността за получаване на определен брой точки на L интервал зависи само от дължината на този сегмент, но не зависи от неговата позиция на абсцисата. С други думи, точките са разпределени по абсцисата с една и съща средна плътност. Ще означаваме тази плътност, т.е. очакване на броя на точките на единица дължина чрез # 955; ,
2) точки, разпределени по хоризонталната ос независимо един от друг, т.е. Вероятността да ви удари определен брой точки за даден период не зависи от това колко много от тях има други сегменти без да се припокриват с тях.
3) вероятността за получаване на малка част # 916, на две или повече точки, е пренебрежимо малка в сравнение с вероятността за получаване на една точка (това условие е практическата невъзможност за съвпадение на две или повече точки).
Изолирайте абцисата определен сегмент на дължина л и разгледа дискретна случайна променлива X - броя на точките, които попадат в тази част. Възможните стойности са стойностите 0,1,2, ..., m, ... Тъй като точките падат на един сегмент независимо, тогава теоретично това е възможно, че те няма да има произволен брой, т.е. серия продължава за неопределено време.
Ще докажем, че случайна променлива X е разпределението на Поасон. За тази цел е необходимо да се изчисли вероятността модул на този от сегмента попада точно м точки.
Първо реши проблема по-проста. Помислете върху Ox малка част # 916; а и да се изчисли вероятността, че този сайт ще получите най-малко една точка. Ние се процедира, както следва. Очакваният брой точки, които попадат в този сайт е очевидно все още # 955, # 903, # 916; .. X (т единица дължина на средните присъжда # 955; точки). Според състояние 3 за малък сегмент # 916; х може да бъде пренебрегната възможността от падане на ИТ две или повече точки. Ето защо, очакването # 955, # 903, # 916; х броя на точките, които попадат в частта # 916; и. ще бъде приблизително равна на вероятността, че една точка върху него (или, еквивалентно, най-малко един от дадените условия).
По този начин, до infinitesimals от по-висок ред, при # 916; х → 0, можем да предположим, че вероятността за сайт # 916; и се получи един (най-малко една) точка е равна на # 955; # 903; # 916; и. и вероятността, че един няма да получите всички на 1-C # 903; # 916; с.
Ние използваме това, за да се изчисли вероятността от удари интервал Pm л точно м точки. Разделете сегмент L по дължина п равни части
Нека да се съгласят да се обадите на елементарни сегмент # 916; е "празен", ако не се получи никакви точки, а "Заето", ако поне един хит в него. Съгласно това, е доказано по-горе вероятността сегмента # 916; и ще бъде "зает" е приблизително равна на # 955; # 903; # 916 х =
; вероятността, че той ще бъде "празни", е равен на 1
. Тъй като, в зависимост от състоянието 2, букви, попадащи в не-припокриващи се сегменти са независими, след това ни п сегменти може да се разглежда като независим п "експерименти", във всеки от които сегмента може да бъде "зает" с вероятност р =
. Нека да се намери вероятността, че сред н сегменти ще бъдат точно м «заета». До повтори независими проучвания теорема, тази вероятност е
,
.
За достатъчно голям п, тази вероятност е приблизително равна на вероятността, че сегментът точно Л М пиксела, т. К. Получаване на две или повече точки на сегмент # 916; и има незначителна вероятност. За да намерите точната стойност на вечерта. трябва да отидете до границата, както н → ∞:
,
ние откриваме, че е необходимо вероятността е дадено от
където а = # 955; л. т.е. променлива X се разпределя в съответствие с разпределението на Поасон с параметър = # 955; л.
Трябва да се отбележи, че размерът и смисъл представлява средния брой точки, свързани с л на интервал.
Стойността R1 (вероятността, че променливата X счита положителна стойност) в този случай изразява вероятността L интервала достигне най-малко една точка: R1 = 1-е-а.
По този начин, ние открихме, че Raspredelenie Puassona възниква, когато даден момент (или други компоненти) заемат произволно положение независимо една от друга, и брои броя на точките, които попадат в някаква област. В нашия случай, този район е един сегмент л върху оста х. Въпреки това, този извод може лесно да бъде удължен до случая на разпределителните точки в равнината (плоски случайни полеви пункта) и в пространството (пространствени точки случаен поле). Лесно е да се докаже, че ако условията:
1) точки са разпределени в статистически равномерно поле със средна плътност # 955; ;
2) точките попадат в региона не-припокриващи независимо;
3) точки показват поотделно и не по двойки, тройни, и т.н.
броя на точките, Х., уловено в област D (равнинни или пространствени) се разпределя в съответствие със закона на Поасон:
,
и където - средния брой точки, попадащи в област D.
За разпределението на Поасон на броя на точките, които попадат в един сегмент или регион, състоянието на постоянна плътност (# 955 = конст) не е от съществено значение. Ако двама други условия, законът Поасон така или иначе се среща само опция и тя става още един израз: тя не е толкова прост плътност умножение # 955; дължина, площ или обем, и променлива плътност интеграция по сегмент, област или обем.
Примери от практиката
1. Апаратът се състои от 1000 елементи, работещи независимо един от друг. Вероятността от повреда на всеки елемент в рамките на времето Т е равно на 0,002. Намерете вероятността, че времето T отказва точно три елемента.
Решение. защото при условие, п = 1000 е достатъчно голям, и m = 0002 малък, можем да използваме разпределение на Поасон:
Решение. Събития ", този ефект се наблюдава най-малко веднъж" (означена с Р), и "този ефект не се наблюдава дори веднъж" (означен с Q), очевидно те са противоположни. Следователно, P + Q = 1. Дето
При условие на Р = 0.95. следователно
По този начин, се изисква средния брой на пробите за тестване, - 300 броя.
3.Veroyatnost един печеливш лотариен билет р = 0,01. Как да си купят билети, за да спечели най-малко един от тях с вероятност P на не по-малко от 0.98?
Решение. Вероятността да спечелите е ниска, както и броя на билетите, които искате да купите очевидно е голям, така че случайно число на печелившите билети е приблизително Raspredelenie Puassona.
Събития "никой от закупения билет не е победител" и "най-малко един билет - печели" - точно обратното. Следователно, сумата от вероятностите на тези събития е равна на една:
По предположение, R≥0,98. или 1-д -s ≥0,98. Когато е S ≤0,02.
От таблицата намираме д -3,9 = 0,02. защото функция д-X - намалява, предишната неравенството притежава a≥3,9. или np≥3,9. Следователно n≥3,9 / 0,01 = 390.
Така, че е необходимо да се купуват най-малко 390 билети, за да спечели най-малко един от тях.
4. Средно брой получени обаждания до централата в минута се равнява на 120. Намерете вероятността, че в две секунди на централата е установен нито един разговор; две секунди при обмена ще отидат най-малко две обаждания.
Решение. две секунди Среден брой повиквания е:
Вероятността, че станцията в продължение на 2 секунди е имало разговор:
Събитие, състояща се в получаването на най-малко две повиквания, означава, че станцията не е получена нито една покана или влезе само един. По този начин, вероятността за по-малко от 2-разговори в същото време е равно на:
5.Sluchaynaya променлива X - брой на електрони, излъчвани от отопляем катод за електрон тръба във времето т, # 955; - средният брой на електрони, отделяни за единица време. Определяне на вероятността, че времето Т на брой излъчвани електрони е по-малък от m (тÎN).
Решение. # 955; - средният брой на електрони, т - време на емисиите следователно е = # 955; т.
6. нагрява катод излъчваната за единица време средно Q (т) електрони, където т - време изминали от началото на експеримента. Намерете вероятността, че продължителността времевия интервал # 964;, като се започне момент t0, електроните катодните летят точно м.
Решение. Ние считаме, средният брой на електрони, както добре. заминаващи от катода по време на този период от време:
Според изчисленията и определяне изисква вероятност:
В заключение, ние отбелязваме, че Raspredelenie Puassona е често срещано и важни разпределителни като приложения в теорията на вероятностите и нейните приложения, както и в математическата статистика.
Много практически проблеми са намалени, в крайна сметка, до разпределението на Поасон. Нейната особеност, която се състои в равнопоставеността на очакването и дисперсията, често се използват в практиката за решаване на проблема, случайна променлива, разпределени по закона на Поасон или не.
Също така важен е фактът, че законът позволява на Поасон вероятностите на събития в повторни независими проучвания с голям брой повторения на опит и малка единица на вероятността.
Позоваването