Series, концепцията за цифровата обхват, свойства на конвергентна серия

Първото запознаване с цифровата серия от нашите читатели се в гимназията в изследването на прогресия аритметична и геометрична прогресия. От тези уроци, които сте научили, че за да се определят тези последователности е необходимо да се определи правото на разположение на всеки член на последователност, обикновено е написана като формула.

Ако - безкраен последователност от числа, след официално записани експресия

нарича безкрайна серия (или в близост). Точки на края (понякога се шегуват, че това малко и е в основата на серията) показва, че (1) не е последният срок, винаги е на стойност за всеки следващ период. По този начин, броят им е "безкрайно" сума.

В кратки серии (1) може да се запише като,

където индексите под и над символа за сума показва, че трябва да се вземат на сумата от цифрите, когато п е цяло число от 1 до ∞.

Числата се наричат ​​членове на поредицата, като член на редица стои на н-тата позиция от самото начало - обща си мандат.

Примери на поредица включват:

Задайте ред - това означава да се уточни правило, правото на образование на своите членове, на който можете да намерите някой от неговите членове (отново помня училищните уроци по аритметика и геометрична прогресия). Няколко общ термин, даден от формулата. Например, ако по този начин определя следния ред:

ако ние се броят

Ако в бъдеще ние ще кажем, че даден номер, ще се разбере, че дал общо понятие.

Пример 1: Добави първите пет условията на серията, ако формулата на общите членове:

Решение. Заместването във формулата вместо п последователно с 1, 2, 3, 4, 5. Получават:

Пример 2: Запишете общия брой на членовете на формулата, ако даден първите пет члена:

Решение. Ние търсим за един модел на образование на членовете на поредицата. Тя лесно се вижда, че в знаменателя е броят на 3 до известна степен. За първи срока на серия е нула градуса, т.е., 1 - 1, вторият е равно на 1 степен, т.е. 2 - 1, за петата - 4, т.е. 5 - 1. Следователно степента на три равно на п - 1. На свой ред всичко в числителя броят им е винаги по-малко от 2 3н. Следователно, общият брой на членовете на формулата:

При добавяне на определен брой условия винаги получавате определен числен резултат на това, за да се изчисли сумата от безкраен брой термини може нито мъж, нито Kompyuter, тъй като процеса на добавяне на определен брой членове (по дефиниция) никога не свършва.

Така, изразът (1) е формално, тъй като сумата от безкраен брой термини да бъдат определени. Въпреки това, в този израз, това поставя знака сумиране и означаваше, че в условията на серията по някакъв начин се натрупват. Количеството на всяка от определен брой термини ще бъдат открити, ако те са сгънати последователно по един. Това води до мисълта, въведена в съответствие с редица номер, и го наричаме сумата от серията. За тази цел въвежда концепцията за частични суми от поредицата.

Приблизителното количество от (1)

Те призоваха частични суми.

Това означава, че сумата на първите N условията на серията се нарича п-ия частично сумата от:

Частите от сумите, имат краен брой условия, тя е "нормално" количество, те могат да намерят, се брои. За редица ние получаваме безкраен последователност от неговите частични суми.

Ако стойностите на частичните суми по неограничен растеж п. т.е., когато иска да някои брой S. т.е. има ограничение

След серия се нарича конвергентна.

Този номер се нарича сумата от S серията. В този смисъл можем да пишем това равенство:

Пример на серия конвергентна:

Не е за всеки един от многото на последователността на неговите частични суми тенденция до определен лимит. Например, за редица

частични суми алтернативно приемат стойностите 1 и 0:

Ако границата на последователността на частични суми на серията не съществува, а след серия се нарича разходящ. Дивергенти серия не е сума.

Пример 3 За да се изследва сближаването на серия (2).

Решение. Форма на частичните суми от поредицата:

Ние ги представи под формата на

Лесно е да се види редовността на образуването на частични суми, всеки представлява разликата между един и фракция чийто числител е 1 и знаменател п-ти частично сума е равна на п + 1, т.е.

Нека да се намери границата на поредица от частични суми:

Следователно, броят (2) е конвергентен, неговата последователност е 1.

Проучване на сближаването на серията (3):

наречена геометрична, тъй като нейните членове са членове на геометрична прогресия, на първия срок е равен на една. и Q знаменател.

Помислете за частична сума от тази серия:

Тя е равна на сумата на геометрична прогресия, ако