Серията, в областта на математиката

1. Определения. Редица е последователност от елементи, изготвени по някакъв закон. Ако даден номер, това означава, че законът, с която можете да създавате произволен брой елементи от редица елементи на собственост се отличават поредица от числа, редица функции, както и някои функции. Ето няколко примера.

Има редица от естествени числа;

- Редица експоненциални функции или мощност серия

Тук, броят на 0. А1. А2. с. написано на някакъв закон, например.

1, Х, Х 2 /(1.2), /(1.2.3 х 3). х п /(1.2. н).

0, х, х 2/2, 3/3 х, х 4/4. (-1) п-1 х п / п.

За изчисляване на цифровата стойност на израз, че е необходимо да се извърши редица действия. Напр.

√ [(35-3) / 2] = √ [32/2] = √16 = 4.

С помощта на редица действия, търси най-голям общ делител на две дадени числа.

посочен. безкрайна ако след всеки елемент има елемент Великобритания UK + 1; в противен случай, номер, посочен. край. Напр.

има краен брой, защото няма елементи, след елемента 10.

2. Броят на определено по-нататък.

От особено значение са безкрайната поредица от формата

където А1, А2, А3,. и п. са положителни цели числа, А0 произволно големи; всяка една от другите числа А1, А2, А3,. по-малко от 10. Този брой може да се нарече брой, тъй като е възможно да се сравни този номер с рационални числа (см.), е възможно да се установи на концепцията за равенство, сума, продукт, разликата и такива частни номера.

Серията (1) е означен за краткост odnoyu писмо.

Твърди се, че abolshe рационално число р / р. ако п е достатъчно голям, неравенството

Ако най-малко п

но достатъчно голям п

където R / и произволно избран номер по-малко от р / р. се счита като равно на р / р.

Въз основа на този номер

9/10 9/10 9/10 2 3.

е единство. Това равенство е обозначен с 0, 999 = 1.

Ако не е равно на 9, и всички следващи номера

Тя може да се случи, че всички елементи на (1) като се започне с ак + 1 са равни на нула. В този случай, изразени в съответствие с определението за

Този вид брой т.нар. Endpoint знака след десетичната запетая.

Тъй като аритметична Известно е, че за обработката на общата фракция в десетична дроб получава краен или безкраен периодично. Всяка периодична десетична дроб може да се превърне един обикновен дроб. От това следва, че безкрайно непериодичен десетичната не може да бъде рационално число, и следователно представлява броя на специален вид, наречен ирационален (вж.).

3. Сближаване и разминаване на серия. поредица от числа

обади. събиращи ако съществува (рационално или ирационално), че увеличаването на цифровата стойност на разликата п

Това става и остава произволно малък. Такъв номер се нарича. сумата от броя В този случай, моля, напиши

и това равенство се нарича. разлагане на безкраен брой, ако този номер не съществува и, броят (2) се нарича. различаващи се.

Най-важният пример на серия конвергентна е геометрична прогресия (см.).

знаменател Q е цифрова стойност, по-малко от един. В този случай, ние имаме разлагането

Няколко дивергентната пример може да послужи

Този номер се нарича. хармонична, като всеки следващ три от своя член образуват хармонична част (са в хармонична връзка см.). изразяване

Няма никакъв смисъл.

Ако броят на членовете на Harmonic вземат последователно с знаците + и -, получаваме израз конвергентна серия

е равна на логаритъма на 2, взет в основата е (см.).

Не е в състояние да обяснявам подробно признаци на сближаване, ние отбелязваме само следната теорема.

Този номер - конвергентна ако брой модули (см.) Целта продължава членове.

където брой v0, v1. v2, v3. положителен, конвергентна, ако с увеличаване на N

Редица положителни условия

тази серия се отклонява, ако

Ако броят на положителна

където R е независим от п. # 945;> 1 и # 952; (N) от цифрова стойност е винаги по-малко от положително число, след серия клони за R> 1 и се отклонява когато г = 1, или по-малко (ФАБРИКА, "Въведение à ла théorie на fonctions d'Тунер променлива ", стр. 84).

конвергентни, но броят на нейните членове модули става различен, ние казваме, че серията (4) клони условно. Напр.

Редица обади. абсолютно сходни, ако броят на членовете му конвергентни модули.

Сума условно конвергентна серия варира в зависимост от реда на членовете. Напр.

1 - 1/2 + 1.3-1.4 +. = Log2,

но 1 - 1.2-1.4 +1/3 - 1.6-1.8 +.

= 1.2-1.4 + 1.6-1.8 +. 2 = 1/2 дневник.

Сумата на абсолютно сходни серия не зависи от реда на своите членове.

Ако номера А и В могат да се разширява в абсолютно сходни серия

абсолютно сходни, и в допълнение,

5. Единна конвергенция. Да предположим, че дадено число

членовете на които са функции на една променлива х. които могат да получат реални, така и въображаеми (см.) стойности. Наборът от стойности на х, при който серията клони, образувайки така наречената област конвергенция.

клони само при х = 0.

разминаващи се на всеки х.

събиране. за всяка стойност на х. Ако степенен ред # 945; 0. # 945; 1x, # 945; 2x 2.

събиране. при някои стойност на х не е равно на нула, а след поредицата клони. и най-малко х. модул е ​​по-малко, отколкото някои брой R. Ако ние използваме геометричната представяне на въображаеми стойности на m (вж.), можем да кажем, че домен на сближаване на тази серия е от порядъка на радиуса на R.

Пример за това е геометрична прогресия

1, х. х х 2. 3. кръг, чийто радиус на конвергенция е равна на единство.

Ако х принадлежи към областта на събирането. Редица (5), след това за всеки п. по-голяма от някакъв брой тон

Обикновено т зависи от х и # 949;, но може, в специални случаи, така че само зависи от # 949;, когато стойностите на х, принадлежащи към определен участък (S). В този случай, серия (5), се нарича. равномерно конвергентен в областта (S).

Помислете например за броя на

ограниченото вещно и положителни стойности на х.

Тази серия клони. а когато X е по-малко от или = 1

За да неравенството

ние трябва да се п> Дневник # 949; / logx

Напред. в този случай

Както можете да видите, че е независим от х. Без значение колко голямо е било м. съществуват стойности на х в интервала (0, 1), така че неравенството (7) не е изпълнено за всяко п, по-голямо от т. Ако X = 1 и след това (7) е изпълнено, ако п е по-голямо от или = 1

Това доказва, че смята за броя на сближаващи неравномерно. между 0 и 1.

0

т = Вход # 949; / Log (1 - # 945) и п = m или по-голямо

Напред. Серия (6) схождащи равномерно. в интервала (0, 1 - # 945).

Ако в униформа съсредоточаването на много от членовете на

са непрекъснатост на х. след това сумата от броя - непрекъсната функция (вж прекъсване.).

Събират равномерно. Няколко възможно termwise интегрират или да се диференцират.

Въпросът за броя на интеграция е посочена във всяка курс по интегрално смятане. Що се отнася до броя на диференциация, нещо за това, вижте делата на Вайерщрас като :. "Mathematische Werke", 2-ри том ( "Abhandlungen", II, стр 205-208.).

имат еднакъв сближаването на сближаване в рамките на кръга.

6. разширяване на функции в серия. В това, което следва, ние приемаме, че независимата променлива е истинско. С помощта на формула Maclaurin получен чрез следната разлагане (Cm.):

(Тези формули са валидни за всяко х).

За да се използва с формула (9), за да се изчисли, например. COS 2 °, е необходимо да се замени вместо х съотношение на радиуса на дължината на дъгата, съдържащ 2 градуса.

В формите. (11) логаритъма се разтваря в основата д. Този форми. неудобно да се изчисли логаритми, тъй като е необходимо да се вземат много на брой членове за още по-малка точност. По-удобно за изчисление формула 13, който е получен от формула (11), приемайки

регистър на функция разширение (1 + х) - лог (L - х).

Ако приемем, че а = 1, Z = 1, ние log2;

"А = 1, Z = 1" log5;

а + Z = 3, а = 4-80, "log3;

Произведението на натуралните логаритми на резултатите от тези номера в

М = 1 / log10 = 0,43429 44819 03251 82765.

получаване на общи логаритми (на основата 10) от същите номера (см.).

Форми. (12) притежава когато х = 1, ако m> 1, и х = 1, ако m> 0 (Abel, "ордьоври ж.к.èTES ", 1881 г., стр. 245).

С директен разпад разширява дейността си в сила от серията рационални функции. Възможно е да се използват за тази цел, както и метода на неопределен коефициент ите. Ако приемем, например.

Този вид брой т.нар. на връщане. От горните уравнения последователно определя у 0. y1. y2.

Разлагане на тази функция има редица използване интегрално смятане, ако е известно разлагане в производно серия. По този начин, ние получаваме разширяване

валиден за стойности на х, отговарящи

Има дъга TG дъга sinx х и са числа, които се намират между -π / 2 и π / 2 и TG е равна или грях х.

Редица (14) като се използва формула Mechena (Machin)

π / 4 = 4arc TG (1/5) - дъга TG (1/239)

Тя ви позволява бързо да се изчисли π с голям брой знака след десетичната запетая. Така Шанкс (Шанкс), изчислена π с 707 знака след десетичната знаци. Разширяване на функции в тригонометрични серия и разширяването на елиптичните функции ще бъде обяснено по-късно.