Система от линейни уравнения
Система на m линейни уравнения в п неизвестни се нарича система на формата
където Aij и би (I = 1, ..., m; б = 1, ..., N) - някои известни номера и x1, ..., хп - неизвестен. Определянето на коефициентите Aij първия индекс и обозначава броя на уравнението, а вторият J - неизвестен брой, в която има този фактор.
Коефициенти на неизвестните ще бъдат записани под формата на матрица, която ние наричаме матрица система.
Числата от дясната страна на уравненията, B1, ..., BM се наричат свободни членове.
Набор от N числа c1, ..., CN, се нарича решение на системата, ако всеки уравнение на системата става равенство след заместване на номера C1, ..., CN вместо x1 на съответните неизвестни, ..., хп.
Нашата задача ще бъде да се намерят решения на системата. В този случай, могат да възникнат три ситуации:
- Системата може да има уникално решение.
- Системата може да има безкраен брой решения. Напр. Решението на тази система е всяка двойка числа, различни по знак.
- И третият случай, когато системата все още няма решения. Например, ако съществува разтвор, x1 + х2 равна на нула и единица едновременно.
Системата на линейни уравнения има поне един разтвор, наречен ставата. В противен случай, т.е. ако системата няма решение, а след това той се нарича непоследователно.
Помислете за начини за намиране на решения на системата.
Алгоритъм за линейни системи от уравнения
Матрици предоставят възможност да нахвърлям система от линейни уравнения. Като се има предвид система от 3 уравнения с три неизвестни:
Помислете за матрица на матрицата на системата и колоните на непознатото и свободните термини
т.е. като резултат от продукта получаваме лява страна на системата. След това с помощта на определението за равенство на матриците на системата може да се запише като
Тук матрица А и Б са известни и матрицата X е неизвестен. Необходимо е да се намери и да, защото неговите елементи са решение на тази система. Това уравнение се нарича уравнение за матрица.
Нека определящ фактор е различна от нула | A | ≠ 0. Така уравнението на матрица се решава по следния начин. Увеличаването двете страни на уравнение, оставени от матрицата -1. А. обратен матрицата. Тъй като -1 = Е А и Е # 8729; X = X. получаване на разтвор на матрица уравнението на X = A -1 Б.
Имайте предвид, че тъй като обратната матрица може да се намери за квадратни матрици само, тогава методът на матрица могат да бъдат решени само тези системи, при които броят съвпада с броя неизвестни уравнения. Въпреки това, запис на матрична система е възможно в случай, когато броят на уравнения е равен на броя на неизвестни, след това матрицата не е квадратна, и следователно не е възможно да се намери решение на системата във формата X = A -1 Б.
Примери. Решете системата уравнения.
Намираме обратна матрица на матрицата A.
Така, х = 3, у = - 1.
Ние експресират желания матрица X от предварително определен уравнение.