SLE методите за решаване на заместване и допълнение
линейна и уравненията и не са линейни.
Като цяло, системата на м линейни уравнения в наш променливи се изписва така:
численост
Те се наричат коефициентите на променливите. и
-
свободни условия.
набор от числа
Тя се нарича разтвор на (1) линейни уравнения, ако ги замени за променливите във всички уравнения те се превръщат в истинско равенство.
Проучването на системи линейни уравнения започва в гимназията. В училищния курс обхваща най-вече на системата от две линейни уравнения с две променливи и два метода за тяхното решаване - метода на метода на заместването и допълнение. Тези техники са в основата на изследваните в хода на висша математика, метода на Гаус. (А коренно различна метод - метод на Cramer - въз основа на използването на детерминанти).
За последователно преминаване от простото към по-лесна (комплекс), повторете метода на два училище.
Решение. При решаването на система за линейни уравнения чрез заместване на първо от някои уравнения експресират една променлива от друг (ако има повече от две неизвестни). Получената експресията е заместен в други уравнения, в резултат на което идва в уравнение с една променлива. След това намерете съответната стойност на втората (и трето, ако има такива) променлива.
Да започнем с това, че е училище пример на система от две линейни уравнения с две променливи.
Пример 1 За решаването на системата от линейни уравнения чрез заместване:
Ние изразяват първото уравнение на системата чрез у х (възможно и обратно) и получаване на:
Заместването на второто уравнение на системата вместо у експресия, ние получаваме системата
Това, както и получените системи са еквивалентни. второто уравнение има само една променлива във втория система. Ние да решим това уравнение:
Виж съответния у стойност чрез заместване на номерата -5 х в израза където
Двойката (-5, 2) решаването на системата от линейни уравнения.
метод заместване може да бъде решен и системата от три линейни уравнения с три променливи.
Пример 2. решаването на системата от линейни уравнения чрез заместване:
От третото уравнение изразяваме:
Ние замени този израз във втората уравнение на системата:
Proizvedom трансформира и да изразят това уравнение:
Полученият израз за и заместникът в първото уравнение и получаваме
Вместо това, можете отново да замени своя израз, ние получаваме уравнение, в един непознат:
Сега, от получените по-рано изрази за останалите променливи и тези променливи, които намираме:
Така, решението на тази система от линейни уравнения:
Пример 3. решаването на системата от линейни уравнения чрез заместване:
От първия уравнение изричното:
Ние замени този израз във втората уравнение на системата, а след извършване на преобразуването и да получите:
От третото уравнение изразяваме:
Този израз за заместника през второто уравнение на трансформиран система и получаване на уравнение в един непознат:
Proizvedom трансформация и да намерите:
Сега, от получените по-рано изрази за останалите променливи и тези променливи, които намираме:
Така, решението на тази система от линейни уравнения:
Когато решаване на системи линейни уравнения на системата за уравнение чрез добавяне termwise сгъната, с един или и двата (множество) уравнения могат да бъдат умножени с различни номера. В резултат на това се стигне до еквивалент (еквивалент) на системата за линейни уравнения в която един от уравненията съдържа само една променлива.
Пример 4. За решаване на система за линейни уравнения чрез добавяне на:
Решение. В уравненията на системата в този пример, коефициентите на системата с у - добавка обратното. Добавянето на срока по план, на лявата и дясната страна на уравненията, които получаваме уравнение с една променлива:
Замяна на тази на оригиналната система от уравнения, например, първото уравнение. получаваме системата
Ние решаваме получената система. Заместването в уравнение, ние получаваме уравнение с една променлива Y:
Двойката (2 1), е разтвор на получената система от линейни уравнения. Също така е разтвор на първоначалната система, като тези две системи линейни уравнения са еквивалентни.
Пример 5 решаването на системата от линейни уравнения чрез добавяне
Termwise добавяне на система от уравнения не води до изключването на една от променливите. Но ако се умножи всички условия на първото уравнение на -3 и второто уравнение 2, коефициентите на х в получените уравнения ще са противоположни числа:
Termwise присъединителни уравнения получената система трансформации води до уравнение с една променлива :. От това уравнение, ние откриваме, че. Получихме
Решение на получената система, и следователно първоначалната система от линейни уравнения е двойката числа (-3, 0).
Пример 6 За решаването на системата от линейни уравнения чрез добавяне на:
Решение. За да се опрости решения proizvedom промяна на променливите:
Стигаме до система от линейни уравнения:
Увеличаването на второто уравнение от -2 на получената система и се добавят с първото уравнение, ние получаваме. След това.
Следователно, ние имаме система от уравнения
Произведението на втората система уравнение, получен чрез 3 и го добавете към първото уравнение. получаваме
След като реши проблема от примерите за решението на заместване и добавянето чрез система линейни уравнения, ние сме се научили да изпълнява елементарни трансформации, необходими за решаване на системи линейни уравнения в курс на висшата математика.
Продължавайки темата за "Системи за уравнения и неравенства"