The Newton-Лайбниц

В повечето приложения, за да се изчисли точната стойност на определен интеграл не е препоръчително, освен това, че не винаги е възможно. Знаем, че има достатъчно често стойността на определен интеграл с някаква степен на точност, например, с точност до една хилядна.

За да намерите приблизителна стойност на определен интеграл с необходимата прецизност числено интегриране се използва, например, метод на Симпсън (метод параболи). метод на трапецовидна или правоъгълна метод. Въпреки това е възможно да се изчисли определен интеграл точно в някои случаи.

В тази статия ние ще се фокусира върху използването на формулата на Нютон-Лайбниц да се изчисли точната стойност на определен интеграл, ние представяме подробен разтвор конкретни примери. Също така в примерите се справим с промяната на променливата в определен интеграл и намиране на стойността на определен интеграл чрез интегриране по части.

Навигация в страниците.

Нютон-Лайбниц формула.

Нека функция у = F (х) е непрекъсната върху интервала [а; Ь] и F (х) - функция на примитивите за този интервал, след това със следната формула притежава основните теорема. ,

Формула наречената основните теорема с обща формула интегрално смятане.

За да се докаже формулата на Нютон-Лайбниц имаме нужда от понятието интеграл с променлива горна граница.

Ако функция у = F (х) е непрекъсната върху интервала [а; Ь]. след това тип аргумент е неразделна функция на горната граница. Ще означаваме тази функция, и тази функция е непрекъсната и равенство.

Наистина, пишем нарастването на функцията, съответстваща на увеличението на спора и да използва петата черта на определен интеграл и резултатът от десетте свойства:

къде.

Ние пренапише това уравнение във формата. Ако си припомним дефиницията на производна на функция и да преминете към границата, ние получаваме. Това означава, че - е един от примитиви функция у = F (X) в интервала [А; Ь]. По този начин, множество примитиви F (X) могат да бъдат написани като където S - е произволна константа.

Изчислява F (а). използвайки първия собственост на определен интеграл: по този начин. Ние използваме този резултат при изчисляването на F (б). Т.е.. Това уравнение дава желания формула Нютон-Лайбниц.

Увеличаване функция може да бъде определена като. Използването на тази система за означаване, Нютон-Лайбниц формула става.

За прилагане на основните теорема с формула достатъчно е да се знае, един от У на примитиви = F (х) подинтегрален функция у = е (х) в интервала [а; Ь] и се изчислява увеличението на този примитивен в този интервал. В методите за статията на интеграция от основните начини за намиране на примитивна. Ние даваме няколко примера за изчисляване на определен интеграл от Формула Основна теорема за изясняване.

Изчислява се стойността на определен интеграл с формула основните теорема.

За начало, функцията подинтегрален е непрекъсната върху интервала [1, 3]. Следователно, това е интегрируеми. (На интегрируеми функции, които обсъдихме в участъка от функциите, за които е налице определен интеграл).

Поради неопределени интеграли таблица показва, че за функцията набор от примитиви за всички валидни стойности на аргумента (а оттам и да) се изписва така. Да разгледаме примитивна когато C = 0 ..

Сега ние трябва да се възползваме от формулата на Нютон-Лайбниц за изчисляване на определен интеграл :.

В непрекъснат сегмент подинтегрален следователно интегрируеми.

Намираме набор от примитиви функции.

Помислете за един примитивен и Нютон-Лайбниц изчисли желания определен интеграл:

Ние се пристъпи към втория определеният интеграл.

В интервала [1; 1] подинтегрален не се ограничава, тъй като не е необходимо условие за integrability на сегмента. Освен това, има примитивна функция на интервала [1; 1]. тъй като точката 0. принадлежащи към сегмента, не е включен в домен функция. Следователно, не е определено Риман неразделна и основните теорема функцията на интервала [1; 1].

Така че, преди да се приложи формулата на Нютон-Лайбниц определено трябва да се уверите, че съществува този определен интеграл.

Подмяна на променлива в определен интеграл.

Нека функция у = F (х) се определя и непрекъснато върху интервала [а; Ь]. Комплектът [а; Ь] е диапазонът на стойностите на функция х = грам (Z). която се определя от интервала, и има непрекъсната производно, и където след това.

Тази формула е удобно да се използва, когато искаме да се изчисли неразделна и неопределен интеграл, ние ще се търси за метода на заместването.

Нека разгледаме един пример за яснота.