Личен сайт - задължително, косинус, тангенс, котангенс

Sine, косинус, тангенс, котангенс

Преди да преминем към този раздел, ние си спомняме, на определението за задължително и косинус, изложени в учебника по геометрия в класове 7-9.

- Синусите малък ъгъл т правоъгълен триъгълник равен на съотношението на другия крак на хипотенузата (Фигура 1):

- Косинус на остър ъгъл на полето триъгълника е равна т по отношение на хипотенузата на съседната част на крака (Фигура 1):

Тези определения се отнасят за правоъгълния триъгълник е специален случай на определенията, които са представени в този раздел.

Поставяме същия правоъгълен триъгълник в цифров кръг (Фигура 2).

Виждаме, че катет В е равно на определена стойност на у в Y ос (ордината), и крака е равна на определена стойност на X в X ос (абсциса). А хипотенуза е равен на радиуса на кръга (R).

По този начин, нашите формули придобиват различен вид.

Тъй б = у. а = х. с = R, тогава:

Между другото, докато друг вид печалба, разбира се, и Формула тангента и котангенс.

Тъй като TG т = б /, CTG т = а / Ь, че други уравнения също са верни:

Но да се върнем към синуса и косинуса. Ние се занимаваме с цифровата кръг, в който радиус е равен на 1. Така се оказва:

Така стигаме до третата, по-опростена форма на тригонометричните формули.

Тези формули са полезни не само в малък, но и за всеки друг ъгъл (тъп или разгърнати).

Косинус на т цифров кръг наречен абсцисата на фигури:

Синуса на тон - е неговата ордината:

Допирателната т - е съотношението на синуса на косинуса:

Котангенс на тон - е съотношението на косинуса на синуса:

Косинуса и синуса на основните моменти от реалния кръг:

Като си спомня косинус и задължително стойности на основните моменти от реалния кръга.

На първо място трябва да знаете, че във всяка двойка числа косинус стойности са първите стойности на синуса - втората.

1) Моля, обърнете внимание, че за цялата цифрова множество точки на окръжността, ние се занимаваме само с петте числа (в модула):

Уверете се сами на "откритие" - и да премахнете психологическото страх от изобилието от числа: в действителност те са само пет.

2) да започне с целите числа 0 и 1. Те ​​са само на координатните оси.

Не е необходимо да запомните, когато, например, косинус на модула има за самоличност, а където 0.

В краищата на задължително ос (у-ос) са равни по модул Sines и уют са равни на 1. 0.

Сега за знаците. нула марка не е. Що се отнася до един - тогава просто трябва да се помни, най-простото нещо от курс клас 7 ли, че на оста х в дясно от центъра на координатната равнина - положителни числа в ляво - отрицателен; по оста у нагоре от центъра са положителни числа, надолу - отрицателни. И тогава не може да се обърка с табела 1.

3) Сега е ред на дробни стойности.

- Във всички знаменатели на фракции - един и същ номер 2. Той не е наред в какво да пиша в знаменателя.

- В средата на четвъртата косинус и синус са от един и същ по модул стойност: √2 / 2. В такъв случай те са с плюс или минус - виж таблицата по-горе. Но това е малко вероятно имате нужда от такава таблица: Знаете ли, че това е от същия клас на курса 7.

- Всички най-близо до оста х точки са абсолютно идентични по абсолютна стойност на косинуса и синуса на: (√3 / 2, 1/2).

- Стойностите на всички най-близко до у-ос точки също са идентични в абсолютна стойност - и те са едни и същи номер, но те са "разменят" места: (1/2; √3 / 2).

Сега за знаците - има редуване на интересните (макар и със знаци, ние вярваме, че трябва да бъде лесен за разбиране и така).

Ако през първото тримесечие на стойността и косинуса и синуса със знак плюс, на кръст (трета) са отрицателни.

Ако през второто тримесечие с минус подпише само уют, в диаметрално противоположни (четвърта) - Само синусите.

Остава само да си припомним, че във всяка комбинация от стойности на синус и косинус първото число - е косинус на второто число - синуса.

- Обърнете внимание на още един модел: синуса и косинуса на диаметрално противоположни точки на кръга са абсолютно равни по сила. Вземете, например, която се противопоставя точки на π / 3 и 4π / 3:

защото пи / 3 = 1/2, грях π / 3 = √3 / 2
защото 4π / 3 = -1/2, грях 4π / 3 = -√3 / 2

Различни стойности на косинус и задължително две противоположни точки само в знак. Но дори и тук има един модел: на Синеш и уюта на диаметрално противоположни точки винаги имат противоположни знаци.

Стойности на уют и Sines точки на недвижими кръга последователно увеличават или намаляват в правилния ред от най-малката стойност на най-големия и обратно (виж "Увеличаване и намаляване на тригонометричните функции" - обаче, това се вижда лесно, но само като погледнете в цифровата кръга. по-горе).

В низходящ ред на завои е смяната на ценностите:

√2 √3 01 януари √2 √3
1; -; -; -; 0; - -; - -; - -; -1
2 2 2 2 2 2

Те са строго повишаване в обратен ред.

Осъзнавайки този прост модел, можете да научите доста лесно да се определи стойността на синус и косинус.

Тангенсът и котангенс на основните моменти от реалния кръга.

Познаването на косинус и синуса на числените периферни точки, може лесно да се изчисли тяхната тангента и котангенс. Разделете синуса и косинуса - получаваме тен. Разделете косинус и синуса - получаваме креватче. Резултатите от това разделение - на фигурата.

ЗАБЕЛЕЖКА. В някои таблици стойностите на допирателната и котангенс равно модул √3 / 3, посочени като 1 / √3. Не е грешка, тъй като тя е еквивалентни числа. Ако на числителя и знаменателя на 1 / √3 умножена по √3, ние получаваме √3 / 3.

Като си спомня стойност тангента и котангенс основните точки на недвижими кръга.

Това са същите закони като синуса и косинуса. И има само четири числа (в модула): 0, √3 / 3, 1, √3.

В краищата на оси - тирета и нули. Тирета показват, че точките от данните на допирателна или котангенс не е уместна.

Как да си спомните къде тиретата, но къде нули? Той помага правило.

Tangent - е отношението на синуса на косинус. В краищата на оста на синус (у-ос) допирателна съществува.

Котангенс - е отношението на синуса на косинус. В краищата на оста на косинус (х-ос) котангенс не съществува.

Останалите точки са превключват само три числа: 1, √3 и √3 / 3 с плюс или минус знаци. Как да се справим с тях? Не забравяйте, (и по-добре да си представите) три обстоятелства:

1) тангенс и котангенс на средата на тримесечието са в модула 1.

2) допирателна и котангенс най-близо до оста х точки в модула са √3 / 3; √3.

3) допирателна и котангенс най-близо до местата за ордината в модула са √3; √3 / 3.

Не бъркайте с знаците - и вие сте голям познавач.

Полезно е да се помни, как да се увеличи и да се намали тангенс и котангенс от броя на кръга (в кръга над sm.chislovuyu или "Увеличаване и намаляване на тригонометрични функции"). По това време тя ще бъде по-добре разбрана и реда на наследяване допирателни и котангенс стойности.

Тригонометрични свойства числения брой обиколка.

Си представим, че един определен момент има стойност М т.

Обяснение. Нека точката M е през първото тримесечие. Тя е с положителна стойност на синус и косинус. Обръщаме от тази точка диаметър - т.е. сегмента, минаваща през центъра координатна ос и за прекратяване в точка периферно обратното. Ще означаваме този момент буквата N. Както можете да видите, Минесота дъгата е равен на половината от обиколката. Вече знаете, че половината от кръга - това е стойност, равна на пи. Следователно, точка п е разположен на разстояние от точка Pi М. С други думи, ако точка M да се добави разстояние пи, ние се получи N точка, която е противоположна. Той се намира в третата четвърт. Проверете и ще видите: косинус и задължително условия N - с "минус" (х и у са отрицателни).

допирателна и котангенс точка М са положителни. А допирателна и котангенс точка N? Отговорът е прост: защото допирателната и котангенс - е отношението на синуса и косинуса. В нашия пример, условията синус и косинус N - с "минус" на знак. Така че:

-sin т
TG (т + π) = ---- = TG т
-cos т

-cos т
CTG (т + π) = ---- = CTG т
-sin т

Ние сме доказали, че допирателната и котангенс диаметрално противоположни точки на кръга не само имат една и съща стойност, но със същия знак.

Имоти 4: Ако две точки от кръга са в съседни квадранта, разстоянието между точките е равна на една четвърт от обиколката на синусите една точка е равна на косинус на другата с един и същи знак, и косинус от една точка е равна на синуса на втори и обратното.

www.zvuk.a5.ru